事故处理的核心在于解决赔偿问题，但行政责任和后续的风险控制往往依赖于官方的责任认定。
以下是对您问题的具体分析：
法律法规依据
《道路交通事故处理程序规定》第十三条【自行协商】
“机动车与机动车、机动车与非机动车发生财产损失事故，当事人对事实及成因无争议的，可以自行协商处理损害赔偿事宜。车辆可以移动的，当事人应当在确保安全的原则下对现场拍照或者标划事故车辆现场位置后，立即撤离现场，将车辆移至不妨碍交通的地点，再进行协商。”
- 适用解释：该条款赋予了当事人对仅造成财产损失的事故进行自行协商处理的权利。如果事故不涉及人员伤亡，且双方对事实和责任无争议，可以自行协商解决，无需交警介入。此时，是否出具责任认定书并非必经程序。
《道路交通事故处理程序规定》第二十二条【认定书出具】
“当事人自行协商达成协议的，制作道路交通事故自行协商协议书，并共同签名。道路交通事故自行协商协议书应当载明事故发生的时间、地点、天气、当事人姓名、驾驶证号或者身份证号、联系方式、机动车种类和号牌号码、保险公司、保险凭证号、事故形态、碰撞部位、赔偿责任等内容。”
- 适用解释：该条款进一步明确了自行协商的处理方式，要求双方制作《道路交通事故自行协商协议书》。这份协议书是双方达成和解的书面证明，可以解决赔偿问题。但需要注意的是，它不能替代交警出具的正式责任认定书。
《道路交通事故处理程序规定》第六十条【认定原则】
“公安机关交通管理部门应当根据当事人的行为对发生道路交通事故所起的作用以及过错的严重程度，确定当事人的责任。”
- 适用解释：该条款明确了交警出具责任认定书的法定职责。责任认定书是交警部门对事故原因、当事人行为及过错程度进行调查后作出的官方结论，是划分事故各方责任的法律依据，具有权威性。
具体情况分析
综合上述规定，是否申请交警出具责任认定书主要取决于以下因素：
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事故的性质：
- 仅造成财产损失：如果事故没有造成人员伤亡，且双方对责任划分和赔偿方案达成一致，可以通过自行协商解决，制作《自行协商协议书》即可。此时，申请交警出具责任认定书并非必须。
- 造成人员伤亡：如果事故造成人员伤亡（无论轻重），根据法律规定，必须立即报警处理，由交警介入调查，并出具责任认定书。这是处理此类事故的法定程序，不能通过私下和解替代。
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和解协议的性质：
- 仅涉及民事赔偿：双方的和解协议通常仅处理民事赔偿问题，属于民事法律行为。它解决了“赔多少钱”的问题。
- 不涉及行政或刑事责任：和解协议不能免除事故责任方可能承担的行政责任（如罚款、记分、吊销驾驶证等）或刑事责任（如交通肇事罪）。这些责任的认定和追究，必须以交警出具的责任认定书为基础。
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潜在风险：
- 一方反悔或后续争议：如果仅凭口头或书面和解协议，没有官方的责任认定，一旦一方反悔或事后出现新的争议（如伤情恶化、损失扩大等），由于缺乏权威的责任划分依据，将难以有效解决纠纷。
- 保险理赔需要：向保险公司申请理赔时，保险公司通常要求提供交警出具的责任认定书，作为计算理赔金额和责任划分的依据。仅有和解协议可能导致理赔受阻。
结论与建议
结论：事故双方私下达成和解协议后，是否申请交警出具正式的责任认定书，需根据事故是否涉及人员伤亡来决定。对于仅造成财产损失的事故，可以自行协商；对于涉及人员伤亡的事故，必须申请交警出具责任认定书。
建议：
判断事故性质：首先明确事故是否造成人员伤亡。如有伤亡，应立即报警，由交警处理并出具责任认定书。
优先考虑官方程序：即使仅造成财产损失，如果双方对责任划分或赔偿方案存在任何不确定或争议，或担心后续风险，建议主动报警，由交警出具责任认定书，以固定证据、明确责任。
保留所有证据：无论是否报警，都应妥善保管好《道路交通事故自行协商协议书》、现场照片、视频、医疗记录、维修发票等所有相关证据。
咨询专业人士：对于涉及复杂法律问题或较大金额赔偿的事故，建议咨询专业律师或保险公司，获取专业意见，确保自身权益不受损害。
综上，虽然双方的和解协议可以解决民事赔偿问题，但责任认定书在划分责任、处理后续法律程序、进行保险理赔等方面具有不可替代的作用。根据事故具体情况审慎决策，是维护自身权益的关键。
